Lista de tópicos de referência

1. Delineamento experimental;
2. População e amostra;
3. Tabulação e apresentação de dados;
4. Medidas de tendências centrais;
5. Medidas de dispersão;
6. Teste de hipótese;
7. Regressão linear;
8. Análise de variância;
9. Correlação;
10. Probabilidade.

Definições básicas

Estatística é a disciplina que estuda a manipulação, análise, interpretação e apresentação de dados.

Estatística descritiva: extrai grandezas de um conjunto de variáveis.

Estatística inferencial: infere grandezas para um todo (população) a partir da análise de uma parte (amostra).

O valor da uma variável de um elemento da amostra ou população é chamado de observação. Um conjunto de observações é chamado de conjunto de dados (data set).

Uma variável pode ser qualitativa ou quantitativa. As qualitativas podem ser nominais (p.e., homem ou mulher) ou ordinais (p.e., 1o., 2o., etc.). As quantitativas podem ser discretas (p.e., números inteiros) ou contínuas (números reais).

Classe é um agrupamento dos valores de uma variável. Um intervalo (de valores) é um exemplo máximo de uma classe.

Densidade de um agrupamento é definido por Δy ⁄ n_i da classe, com y sendo o valor da variável e n o número de elementos das classe.

Uma distribuição de freqüência é um método de se agrupar dados em classes de modo a fornecer a quantidade (e/ou a percentagem) de dados em cada classe.

Uma distribuição cumulativa de freqüências (DCF) dá o número total de valores que caem abaixo do limite de certa classe numa distribuição de frequências. Também escrito como F(x) = P(x’ < x) = n(x) ⁄ N, onde n(x) é o número de observações menores ou iguais a x. Propriedade: P(x_o ≤ x < x₁) ≡ F(x₁) − F(x₀). Seja f(x) a função densidade de probabilidade:

Uma distribuição cumulativa de freqüências pode ser representada graficamente por uma ogiva. Para construí-la representa-se os limites superiores das classes na abscissa e faz-se a altura dos pontos proporcionais à freqüência acumulada até esses limites.

Resíduo (r): valor do dado (d) menos o valor do modelo (m).

r = d - m

Medidas de tendência central

Valor médio ou medidas de tendência central: média, mediana e moda (população ou amostra).

A variância e o desvio padrão de um conjunto de dados mede a dispersão dos dados em torno de um valor médio. A variância de uma amostra de tamanho n é representada por S² e é dada por:

A variância da população de tamanho N é representada por σ² e é dada por:

O desvio padrão é S para a amostra e σ para a população. O desvio médio dm é definido como:

A mediana md = x_{(n + 1) ⁄ 2} se n ímpar ou md = 0.5x_n ⁄ 2 + 0.5x_{(n + 1) ⁄ 2} se n par.

Medidas de posição

As medidas de posição são usadas para descrever a localização de uma observação particular em relação ao resto do conjunto dos dados (ordenados). Divisões comuns são os percentis, decis e quartis. Os percentis são valores que dividem os dados ordenados em 100 partes iguais. O p-nésimo percentil do conjunto é o valor no qual pelo menos p porcento das observações estão contidas naquele, ou num menor valor.

Por exemplo, o número de observações em um conjunto menores do que 5.5 são 11. Onze dividido pelo total (45) é 0.244 e 0.244 multiplicado por 100 é 24.4%. Este porcento aredonda-se para 24. A quantidade 5.5. é o 24o. percentil e é expresso como P₂₄ = 5.5.

A associação entre percentis, decis e quartis é tal que vale a igualdade (que é a definição de mediana):

O intervalor interquantil, designado por d_q ou IQR (em inglês) é definido como:

O intervalo interquantil mostra a dispersão da metade dos dados de valores intermediários, e não é afetadas por extremos no conjunto.

Gráfico caixa de bigodes ou box-and-whisker plot

Um gráfico caixa de bigodes, algumas vezes denominado por box plot, é uma representação gráfica na qual uma caixa que extende-se de Q₁ a Q₃ e contém uma linha intermediária que corresponde à mediana dos dados. Linhas (chamadas de bigodes ou whiskers) em raras vezes ligam o Q₁ ao dado de menor valor (e Q₃ ao de maior), mas geralmente marcam a região além do referido quartil Q_i até a 1.5 vezes a distância interquartil a partir do mesmo (L_i = Q_i±1.5*d_q).

Pontos além dos limites L_i são chamados de exteriores. Se acreditamos que não devem pertencer a amostra, são chamados de outliers. O intervalo entre os limites superior e inferior L_S − L_I corresponde a 99,3% da distribuição normal.

Intervalos de confiança

O intervalo de confiança é tal que:

Se P(|x − μ| < 1.96σ_x) = 0.95, onde x é o valor médio da amostra, o intervalo de confiança será ]x − 1.96σ_x, x + 1.96σ_x[. Para n não muito grande, a distribuição normal não pode ser usada, e deverá ser substituída pela distribuição t de Student. Escrevendo a dependência explícita com n:

A amplitude do intervalo é 2z(γ)σ ⁄ √(n), independente de x.

Probabilidades

A palavra probabilidade deriva do latim probare (provar ou testar). A ideia geral da probabilidade é frequentemente dividida em dois conceitos relacionados:

• Probabilidade de frequência, probabilidade aleatória ou visão objetivista, que representa uma série de eventos futuros cuja ocorrência é definida por alguns fenômenos físicos aleatórios.
• Probabilidade epistemológica, probabilidade Bayesiana ou visão subjetivista, que representa nossas incertezas sobre proposições quando não se tem conhecimento completo das circunstâncias causativas. Tais proposições podem ser sobre eventos passados ou futuros.

É uma questão controversa se a probabilidade aleatória é redutível à probabilidade epistemológica.

Variáveis aleatórias discretas

Uma variável aleatória é variável cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios.

Matematicamente, variável aleatória é uma função que associa elementos do espaço amostral a valores numéricos, ou seja, X : Ω → ℝ. A representação padrão é variáveis aleatórias por letras maiúsculas e suas ocorrências por letras minúsculas.

"Variável aleatória é um tipo de variável que pode assumir diferentes valores numéricos, definidos para cada evento de um espaço amostral Ω".

Variáveis aleatórias contínuas

Modelo uniforme

x = (α + β)/(2), σ² = ((β − α)²)/(12)

Modelo normal

p(x;μ, σ²) = (1)/(σ√(2π))e^{− ((x − μ)2)/(2σ2)}

x = μ;σ² = σ²

Lendo tabelas

As tabelas em geral dão P(0 ≤ X ≤ x’), ou seja, a integral de P entre 0 e x’.

Por exemplo, P(0 ≤ X ≤ 1.73) = (45818)/(100000) = 0.4582. Se 1.73 for o valor de σ, o valor acima deve ser multiplicado por 2.

Modelo exponencial

Exemplo, tempo de vida de um equipamento.

p(t;β) = 1 ⁄ βe^{− t ⁄ β}, se t ≥ 0

x = β;σ² = β²

Distribuição Gama

Em matemática, a função gama é uma extensão da função factorial para o conjunto dos números reais e complexos. Essa distribuição tem como suas principais aplicações à análise de tempo de vida de produtos, além de ser matematicamente o caso geral de outras distribuições.

Γ(α) ≡ ^∞⌠⌡₀e^− xx^α − 1dx, α > 0

A função gama nos números reais:

Distribuição χ²

A distribuição χ², chi-quadrado, ou Y é uma das distribuições mais utilizadas em estatística inferencial. Este teste de χ² serve para avaliar quantitativamente a relação entre o resultado de um experimento e a distribuição esperada para o fenômeno. Isto é, ele nos diz com quanta certeza os valores observados podem ser aceitos como regidos pela teoria em questão. Muitos outros testes de hipótese usam, também, a distribuição χ².

A função densidade de probabilidade da distribuição χ²:

f(χ²_k) = (1)/(2^k ⁄ 2Γ(k ⁄ 2))(χ²_k)^{k ⁄ 2 − 1}e^{− χ2_k ⁄ 2},  se χ²_k > 0.

Seja k o número de graus de liberdade. Para k > 30, podemos usar a aproximação normal a distruição χ².

"O quadrado de uma variável aleatória com distribuição normal é uma variável aleatória com distribuição χ²(1)":

X² = f(χ²₁)

Lendo tabelas

A tabela é em apresentada como P(f(χ²_k) > VALOR) =  (ÍNDICE).

Por exemplo, para k = 2, P(f(χ²_k) > 0.02) = 99.

Distribuição t-Student

A distribuição t de Student é importante para inferências sobre médias populacionais a partir de amostras (quando o desvio padrão é desconhecido), além de outras aplicações.

A forma da curva da distribuição é similar a normal, porém com asas maiores. Tente a curva normal para altos índices.

Se ν = 1, temos a distribuição de Cauchy.

Lendo tabelas

O valor V em geral dado é V( − t_c ≤ t(ν) ≤ t_c) = 1 − p, ou seja, é a integral dos extremos até o valor t_c. É o contrário da área de σ, por exemplo.

Distribuição F [de (Fisher-)Snedecor]

Mede a razão entre duas χ² independentes. É a "distribuição nula de uma estatística de teste, particularmente na análise da variância".

Processo estocástico ou de Poisson

Processo estocástico é uma coleção de variáveis aleatórias que, em geral, são utilizadas para estudar a evolução de fenômenos (ou sistemas) que são observados ao longo do tempo. Assim, ao invés de descrevermos o sistema através de equações determinísticas (como, equações diferenciais ordinárias), que dado uma condição inicial, conhecemos toda a evolução do sistema, vamos utilizar processos estocásticos, para o qual, dado uma condição inicial, ainda temos diversas trajetórias possíveis para a evolução do sistema.

A cadeia de markov é um processo estocástico caracterizado por seu estado futuro depender apenas do seu estado atual, sendo que os estados passados não influenciam no estado futuro. O nome cadeia de markov foi dado em homenagem ao matemático russo Andrey Markov.

Transformações e simulações

Vários procedimentos estatísticos são baseados na suposição de que os dados provêm de uma distribuição normal (ou em forma de sino, simétrica). Num caso assimétrico o que se propõem é efetuar uma transformação do valor das observações, de modo a se obter uma distribuição mais simétrica e próxima da normal. Uma família frequentemente utilizada é:

Variáveis multidimensionais

Correlação

Variáveis qualitativas

χ² de Pearson = ∑((o_i − e_i)²)/(e_i) = ∑^R_i∑^S_i((n_ij − n^*_ij)²)/(n_ij)

Coeficiente de contingência C = √((χ²)/(χ² + n)) apresenta intervalo variado.

O coeficiente T = √((χ² ⁄ n)/((r − 1)(s − 1))) varia entre 0 e 1. r e s são o número de observações das respectivas variáveis

Uma variável qualitativa e uma quantitativa

Seja σ² a variância padrão. σ_x = (∑^k_in_iσ²_x)/(∑^k_in_i), segue que sempre σ_x < σ_x (propriedade).

R² = 1 − (σ_x)/(σ_x); 0 ≤ R² ≤ 1.

Se R² = 0.415, diz-se que 41,5% da variação da variável quantitativa é explicada pela variável qualitativa.

Variáveis quantitativas

Sejam n pares de (x_i, y_i).

corr(x, y) = (1)/(n)⎲⎳⎛⎝(x_i − x)/(σ_x)⎞⎠⎛⎝(y_i − y)/(σ_y)⎞⎠ = (⎲⎳x_iy_i − nx y)/(√(⎲⎳x²_i − nx²)√(⎲⎳y²_i − ny²))

Com  − 1 < corr(x, y) < 1 (propriedade).

Coeficiente de correlação CC = (cov)/(σ_xσ_y).

corr(X, Y) = (cov(X, Y))/(σ_xσ_y)

Correlação graficament

O coeficiente de correlação tradicionalmente definido (de Pearson) não define a forma desta correlação. Na figura a seguir 4 conjuntos de dados com a mesma correlação de 0.816 são apresentados.

Propagação de incertezas

Seja f = f(a, b). A incerteza de f será dada por:

σ_f² ≈ ||(∂f)/(∂a)||²σ_a² + ||(∂f)/(∂b)||²σ_b² + 2(∂f)/(∂a)(∂f)/(∂b)cov_ab.

Notar que as derivadas parciais que multiplicam a covariância não possuem módulo!

Gráfico q × q

Gráfico quantis-quantis é um gráfico dos dados ordenados em X contra os de Y. Mostra se os valores pequenos de X estão correlacionados com valores pequenos de Y.

Introdução à Inferência Estatística

Estimação

Num dado questionário, os 500 sócios de um clube responderam se aprovavam (SIM) ou não (NÃO) uma proposta. Sabemos que o resultado foi 300 votos favoráveis, ou 300/500=60%. Mas e se não dispuséssemos de toda a informação (500), mas sim só de uma amostra? Com qual certeza poderíamos inferir este percentual?

Num variável aleatória binária, x_p̂ = p e σ²_p̂ = p(1 − p) ⁄ n.

A variância será a variância da variância, σ²_σp̂ = (2σ⁴)/(n − 1).

No caso acima, a variância da variância permitiria estimar a variação com n da variância.

Testes de Hipóteses

A construção de um teste de hipóteses para um parâmetro populacional: existe uma variável x associada a dada população e tem-se uma hipótese sobre determinado parâmetro μ dessa população (p.e., o valor verdadeiro de μ é μ₀). Colhe-se uma amostra aleatória e deseja-se comprovar tal hipótese.

Erro tipo I: rejeitar H₀ quando é verdadeira:

α = P(erro do tipo I) = P(rejeitar H₀|H₀ é verdadeira)  ≡  nível de significância.

Erro tipo II: não rejeitar H₀ quando é falsa:

β = P(erro do tipo II) = P(não rejeitar H₀|H₀ é falsa).

Combinatória

A combinatória é um ramo da matemática que estuda coleções finitas de elementos. Arranjo é muitas vezes usado como sinônimo de permutação para o caso em que o número elementos avaliados é menor do que o total do conjunto.

Exercícios

1. Um barato de 40 cartas contém 4 ases. Se duas cartas são retiradas, qual a probabilidade de se obter um ás?

   P = 4/40x36/39 + 36/40x4/39 = 0.1846. Com Bernoulli. N=40, r=4, k=1, n=2. P = 0.1846.

2. Um dado é lançado três vezes sucessivamente. Qual é a probabilidade de não ocorrerem três números iguais ?

   A probabilidade de que ocorram três número iguais para um dado número é (1/6)^3. Porém, isso pode ocorrer para qualquer um dos 6 números. Logo a probabilidade para que um dos números seja sorteado 3x é P' = (1/6)^3*6 = 1/36. Porém queremos que não ocorra isso. Logo P = 1 - P' = 35/36.

3. Qual a probabilidade da soma do lançamento de dois dados ser 7?

   A primeira jogada define um valor de 1 a 6. Para que a soma seja 7, basta que caia o seu "complemento" no dado. Logo, P = 1/6.

4. Qual a probabilidade da soma do lançamento de dois dados ser 6?

   A soma 6 só pode ocorrer pela combinação de 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1 dentre 36 combinações possíveis. Logo, a probabilidade da soma do lançamento de dois dados ser 6 é P = 5/36.

5. Um dado é lançado 3 vezes. Qual a probabilidade de que um dos números apareça somente em dois lançamentos?

   Usando Bernoulli. p=1/6; n=3; k=2. P = 5/72 = 0.06944.

6. Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de que um dos números apareça em um ou mais lançamentos?

   Usando Bernoulli. p=1/6; n=5; k=0; P0 = 0.40188. p=1/6; n=5; k=1; P1 = 0.40188. p=1/6; n=5; k=2; P2 = 0.16075. p=1/6; n=5; k=3; P3 = 0.03215. p=1/6; n=5; k=4; P4 = 0.00322. p=1/6; n=5; k=5; P5 = 0.00013. P = 1-P0 = P1+P2+P3+P4+P5 = 0.59812.

7. Meninos tem probabilidade de nascer p=0.51 (meninas, p'=0.49). Numa família com 3 filhos cada, qual a probabilidade de ter filhos de ambos os sexos?

   Usando Bernoulli. Qual a probabilidade de se ter 0 homens (P0')? p=0.51; n=3; k=0; P0' = 0.11765. Repetindo... p=0.51; n=3; k=1; P1' = 0.36735. p=0.51; n=3; k=2; P2' = 0.38235. p=0.51; n=3; k=3; P3' = 0.13265. Tal que a soma de probabilidade de todos os Pn' = 1.0. A probabilidade de se ter filhos de ambos os sexos é P = P1'+P2' = 0.74940.

8. Num grupo de 10 famílias com 3 filhos cada, qual a probabilidade de se encontrar 1 ou mais famílias com todos os três filhos do mesmo gênero (i.e., todos meninos ou todas meninas)?

   Usando do exercício anterior, p = P0'+P3' = 0.2503... p=0.2503; n=10; k=0; P0'' = 0.05609. p=0.2503; n=10; k=1; P1'' = 0.18726. p=0.2503; n=10; k=2; P2'' = 0.28134. p=0.2503; n=10; k=3; P3'' = 0.25048. p=0.2503; n=10; k=4; P4'' = 0.14635. p=0.2503; n=10; k=5; P5'' = 0.05863. p=0.2503; n=10; k=6; P6'' = 0.01631. p=0.2503; n=10; k=7; P7'' = 0.00311. p=0.2503; n=10; k=8; P8'' = 0.00039. p=0.2503; n=10; k=9; P9'' = 0.00003. p=0.2503; n=10; k=10; P10'' = 0.00000. Tal que a soma de probabilidade de todos os Pn'' = 1.0. A probabilidade de se ter 1 família com todos os três filhos do mesmo gênero é P1''=0.18726. A probabilidade de se ter 1 ou mais famílias com todos os três filhos do mesmo gênero é P = 1-P0'' = 0.94391.

9. Meninos tem probabilidade de nascer p=0.51 (meninas, p'=0.49). Num grupo de 50 famílias com 8 filhos cada, qual a probabilidade de se achar 1 ou mais famílias com todos os filhos do mesmo gênero (i.e., todos meninos ou todas meninas)?

   Usando Bernoulli. p=0.51; n=8; k=0; P0' = 0.00332. p=0.51; n=8; k=0; P1' = 0.02767. p=0.51; n=8; k=0; P2' = 0.10080. p=0.51; n=8; k=0; P3' = 0.20984. p=0.51; n=8; k=0; P4' = 0.27300. p=0.51; n=8; k=0; P5' = 0.22731. p=0.51; n=8; k=0; P6' = 0.11830. p=0.51; n=8; k=0; P7' = 0.03518. p=0.51; n=8; k=8; P8' = 0.00458. A chance de se encontrar uma família aleatoriamente com todos os filhos do mesmo sexo é P' = P0'+P8' = 0.00790. A chance de se encontrar uma família com filhos de ambos os sexos é P'' = 1-P' = 0.99210. Num grupo de 50 destas famílias, a chance de todas as famílias terem filhos de ambos os sexos é p'=0.99210; n=50; k=50; P50'' = 0.67262. Portanto, a chance de se achar ao menos 1 família com filhos de mesmo gênero é P = 1-P50'' = 0.32738.

10. Mantidas as hipóteses de p=0.51 para meninos e p=0.49 para meninas (com gênero independente entre nascimentos), um casal possui dois filhos, e pelo menos um deles é menina. Com esta informação (condicional, de que um deles é menina), qual a probabilidade de se ter duas meninas?

    A probabilidade de se ter duas meninas é p=0.49^2=0.2401. Usando Bernoulli, a probabilidade de se ter uma menina (e um menino) é p'=0.4998 (alternativamente isso pode ser deduzido como p'=1-0.49^2-0.51^2). Logo, sabendo que temos pelo menos uma menina, estas probabilidades precisam ser normalizadas. Assim, P'=p'/(p'+p) e P = p/(p'+p) = 0.32450.

11. Susie consegue identificar a orientação sexual das pessoas com 90% de precisão. Numa simplificação, 5% da população é gay e 95% são heterossexuais. Como a maior parte da população é hetero, a imprecisão da Susie fará com que ela perceba que existem mais gays do que realmente há. Se Susie conhecer alguém aleatoriamente, qual a probabilidade dela pensar que essa pessoa é gay?

    P = 0.95x0.10+0.05x0.90 = 0.14.

12. No problema do "Monty Hall" com N portas, qual a probabilidade de se ganhar após o participante permanecer na porta escolhida? E se ele resolver trocar por uma das portas restantes, após n portas serem abertas (evidentemente, sem o prêmio)?

    A probabilidade da porta inicial é P = 1/N. Após a abertura de n portas, quaisquer uma das portas que não for a inicialmente escolhida terá probabilide P = (N-2+n)/[N*(N-2)].

13. Você é uma criança na aula de educação física. Você ama correr e detesta nadar. Na turma de 49 + você de crianças (total 50), o professor vai escolher 20 para nadar e 30 para correr. Qual é a probabilidade de você ser escolhido para correr?

    P = 30/50 = 3/5. Note que a probabilidade de você não ser escolhido como primeira criança é 49/50. A probabilidade de não ser escolhido como segundo é 48/49. Contudo, a probabilidade de não ser escohido cumulativamente (i.e., nem como primeiro e nem como segundo) é p=48/50. O mesmo resultado pode ser obtido utilizando-se uma distribuição hipergeométrica (N=50, r=1, n=20 e k=0 de não ser selecionado; ou n=30 e k=1 de ser selecionado).

14. Suppose that a test for using a particular drug is 99% sensitive (true positive rate) and 99% specific (true negative rate; that is, the test will produce 99% true positive results for drug users and 99% true negative results for non-drug users). Suppose that 0.5% of people are users of the drug. What is the probability that a randomly selected individual with a positive test is a user?

    P = 0.99x0.005/(0.99x0.005+0.01x0.995) ~ 1/3.

15. Um bastão de 1m de comprimento quebra-se em duas partes: a da esquerda, com comprimento L[m] (desconhecido) e a da direita, de comprimento 1-L[m]. Se há uma probabilidade de 60% que a parte esquerda é menor ou igual a 0.6m, qual é o comprimento esperado da peça direita (em metros)?

    P = (40%*(1.0-0.6)+60%*(0.6-0.0)) = 0.5m

16. Suponha que queremos distribuir r bolas em n compartimentos, com r ≥ n, todas as bolas devem ser distribuídas. Vamos calcular a probabilidade de um compartimento conter k bolas.

    Observe que k bolas podem ser escolhidas de ⎛⎜⎝ r   k ⎞⎟⎠ maneiras distintas e que (r-K) bolas podem ser colocadas nos (n-1) compartimentos que restaram de (n − 1)^r − k maneiras. Assim seja A = {Um compartimento conter k bolas} a probabilidade de que um compartimento contenha k bolas é de:

17. How many anagrams of mississippi don't contain the word psi?

    The set is composed of the letters: S=M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I. This set has cardinality (element count): |S|=11, so that P11=11!=39916800 permutations. Then one have to remove repetitions caused by permutations of the same letter. One have P2=2!=2 permutations for the Ps and P4=4!=24 for the Is and again for the Ss. You have 2×24×24=1152 permutations of equal letters, per pattern. So, by now, we know how many permutations without repetition there are of S=M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I. There are P11P2×P4×P4=39916800/1152=34650. The last part is solving the sub problem of how many permutations of MISSISSIPPI contain PSI. S=PSI,M,I,I,I,S,S,S,P. This set has cardinality 9, so has P9=9! permutations, from which we have to remove repetitions caused by swapping equal letters (three Is, three Ss). These repetitions are P3×P3=3!×3!=36 per pattern, so just like before, we divide P9P3×P3=10080. Now, there's a bit of a snag. The permutations above will produce, for example, this pattern: PSIMIISSPSI. You'll notice that PSI appears twice. For each of these, there will be a repetition, when the first PSI is swapped with the last PSI. We have to remove these. How many are there? Again, the same method: S=PSI,PSI,M,I,I,S,S cardinality |S|=7 with repetitions caused by the two PSIs, the two Is and the two Ss. The number of permutations without repetition is P7P2×P2×P2=7!8=630. The final answer is the number of permutations without repetitions of MISSISSIPPI minus the number of permutations without repetition of PSI and the letters MIIISSSP, after removing the duplicates caused by two PSIs: 34650−(10080−630)=25200.

18. How many flips of a fair coin does it take until you get h heads in a row?

    Let p be the probability of flipping a heads. Let x be number of flips needed to achieve h consecutive heads. The solution is E(x) = (1 − p^h)/(p^h(1 − p)). This expression may be derived as follows. The probability of being successful immediately is p^r. However, one might get a tails immediately. In that case, the number of flips needed is 1+E(x) (one flip has been used and we are back to the original position). We might get a heads and then a tails. In this case two flips have been used and we are back to the original position. Continue this up to h−1 heads followed by a tails in which case h flips have been used and we are back to the original position.

19. Uma certa doença afeta 0.15% da população. O único teste para esta doença tem acurácia (ou sensibilidade) de 99%. Se uma pessoa é diagnosticada como tendo a doença, qual a probabilidade dela efetivamente estar doente?

20. Você tem um jarro com dez moedas: nove não normais, e uma delas tem duas caras. Uma pessoa pega uma moeda do jarro e lança a moeda três vezes, obtendo três caras. Qual a probabilidade desta pessoa estar com a moeda de duas caras?

    Seja j a moeda justa, e r o resultado obtido.

Referências